Planos dados por tres puntos no alineados y cuatro puntos no alineados
Dados los planos ABC y DEFG, hallar la recta de intersección i. En este caso se utilizan dos planos auxiliares: α (horizontal) y β (frontal).
El plano α1 determina las rectas de intersección 1 – 2 en ABC y 3 – 4 en DEFG, cuyo punto común es M (M1, M2). El plano β2 determina las rectas de intersección 5 – 6 en ABC y 7 – 8 en DEFG, cuyo punto común es N (N1, N2).
Uniendo M y N se halla la recta de intersección i.
El tema de planos dados por tres puntos alineados y cuatro puntos alineados es un caso particular de la intersección de planos. En este caso, cuando los puntos son alineados, el plano que los contiene es único.
Cuando se tienen tres puntos alineados, se puede determinar el plano que los contiene por medio del teorema de los ángulos diedros, el cual establece que la perpendicular común a dos planos secantes es la bisectriz del ángulo diedro que forman los dos planos. Así, si se tienen tres puntos alineados A, B y C, se pueden formar dos planos a partir de ellos, el plano ABC y el plano BCA. Para encontrar el plano que contiene los tres puntos, se determina la perpendicular común a los planos ABC y BCA, lo cual se hace trazando la bisectriz del ángulo diedro que forman los dos planos.
Por otro lado, cuando se tienen cuatro puntos alineados, se puede determinar el plano que los contiene utilizando el concepto de punto medio. Si se tienen los puntos A, B, C y D alineados, se puede trazar la mediatriz del segmento que une los puntos A y D, y la mediatriz del segmento que une los puntos B y C. Estas dos mediatrices se cortarán en un punto, el cual será el punto medio del segmento que une los puntos A y D, y del segmento que une los puntos B y C. Este punto medio es el punto por donde pasa la recta que contiene los cuatro puntos alineados.
En ambos casos, se puede utilizar la representación diédrica para dibujar los planos y los puntos en el espacio tridimensional. Es importante recordar que, en general, se necesitan al menos tres puntos no alineados para determinar un plano de manera única.